Quantenverschränkung
Quantenverschränkung
Verschränkte QuBits bestehen aus einer Überlagerung von Einteilchenzustände. Für zwei verschränkte QuBits QA, QB beschreiben die Bell-Zustände (auch Bell-Paar) den Zustand maximaler Verschränkung:
\Ket{Q_{A},Q_{B}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}\pm\Ket{11}); \Ket{Q_{A},Q_{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{01}\pm\Ket{10})Exkurs: Darstellung von zwei QuBits über Tensorprodukt
\Ket{a}=a_{00}\Ket{00}+a_{01}\Ket{01} +a_{10}\Ket{10} +a_{11}\Ket{11}=\begin{bmatrix} a_{00} \\ a_{01} \\ a_{10} \\ a_{11} \end{bmatrix}
|a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2=1
\Ket{a} = \begin{bmatrix} a_{0} \\ a_{1} \end{bmatrix}; \Ket{b} = \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix}; \Ket{ab} = \Ket{a} \otimes \Ket{b} = \begin{bmatrix} a_{0} \times \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix} & a_{1} \times \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix} & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{0}b_{0} \\ a_{0}b_{1} \\ a_{1}b_{0} \\ a_{1}b_{1} \end{bmatrix}
In einem Quantencomputer lässt sich die Verschränkung durch die Anwendung des Hadamard und CNOT Gatters erzeugen:
Das Hadamard Gatter
Das Hadamard Gatter hat die Aufgabe, den (absoluten) Zustand eines QuBits (|0〉 bzw. |1〉) in den Überlagerungszustand zu überführen [1]:
\Ket{1}
Dies entspricht auf der Bloch-Kugel einer Projektion in die Äquatorebene. Das Hadamard Gatter transformiert den Zustand
|0〉 zu |+〉 bzw. |1〉 zu |-〉. Würde das QuBit in dem Zustand |+〉 oder |-〉 gemessen werden, so geht es mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% in den Zustand |1〉 oder |0〉 über.
Exkurs: Mathematische Darstellung eines Hadamard Gatter
Mathematisch gesehen, handelt es sich bei dem Hadamard-Gatter (Hadmard-Operator) um eine 2×2 Matrix, die die Vektoren (Zustände) |0〉 bzw. |1〉 in den Vektor (Zustand) |+〉 bzw. |-〉 transformiert:
H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}; H\Ket{0}=\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}+\Ket{1}); H\Ket{1}=\Ket{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}-\Ket{1})
Das CNOT-Gatter
Für dieses Gatter sind zwei QuBits erforderlich QA und QB. Das QuBit QA wird als Control-Bit bezeichnet, da von seinem Zustand der Status von QB abhängt [1]:
Das CNOT-Gatter invertiert den Wert von QuBit QB nur, wenn QA den Wert 1 hat. Ansonsten bleibt der Wert von QB unverändert.
Exkurs: Mathematische Darstellung des CNOT-Gatters
Es soll nun ein Bell-Paar mit diesen beiden Gattern erzeugt werden. Diese Schaltung verschränkt die beiden Qubits QA und QB mit den Anfangswerten 0 [1]:
Je nach Messergebnis des Control QuBits QA wird das QuBit QB verändert oder nicht. Nach einer Messung ist der Zustand beider Qubits mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% |0,0〉 oder |1,1〉.
Quellen
[1] M. Ellerhoff. Mit Quanten Rechnen. ISBN 978-3-658-31221-3