Quantenverschränkung

Zusammen können zwei QuBits vier unterschiedliche Zustände annehmen, genau wie zwei gewöhnliche Bits.
Verschränkte QuBits bestehen aus einer Überlagerung zweier bestimmter Zustände und zerfallen nach einer Messung in einen der beiden Zustände. Für zwei verschränkte QuBits Q_A, Q_B existieren die folgenden vier Zustände:

$\Ket{Q_{A},Q_{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}\pm\Ket{11})\qquad(10)\\ \Ket{Q_{A},Q_{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{01}\pm\Ket{10})\qquad(11)$

Der Zustand (10) wird auch als Bell-Zustand bzw. Bell-Paar bezeichnet.

Exkurs: Darstellung von zwei QuBits über Tensorprodukt

Für die Erklärung der Verschränkung zweier Quanten bzw. QuBits ist es notwendig, die Darstellung des Zustands von zwei QuBits, sowie das Hadamard und CNOT-Gatter zu erläutern.
Zwei nicht verschränkte QuBits lassen sich über folgenden Zustandsvektor darstellen:

\Ket{a}=a_{00}\Ket{00}+a_{01}\Ket{01} +a_{10}\Ket{10} +a_{11}\Ket{11}=\begin{bmatrix} a_{00}\\ a_{01}\\ a_{10}\\ a_{11} \end{bmatrix}\qquad(6)

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt wiederum:

|a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2=1\qquad(7)

Allgemein lässt sich der Zustand bzw. Zustände zweier (oder mehrerer QuBits) über das Tensorprodukt (dyadisches Produkt) beschreiben:

\Ket{a}=\begin{bmatrix} a_{0} \\ a_{1} \\ \end{bmatrix} ; \Ket{b}=\begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \\ \end{bmatrix}\qquad(8)

\Ket{ab}=\Ket{a} \otimes \Ket{b}=\begin{bmatrix} a_{0} \times \begin{bmatrix} b_{0}\\ b_{1} \end{bmatrix} & \\ a_{1} \times \begin{bmatrix} b_{0}\\ b_{1} \end{bmatrix} & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{0}b_{0}\\ a_{0}b_{1}\\ a_{1}b_{0} \\ a_{1}b_{1} \end{bmatrix}\qquad(9)

Frage: Wie werden 2 QuBits so miteinander verbunden, dass sie miteinander verschränkt sind?

Zur Verschränkung werden zwei sog. (Schaltungs-) Gatter benötigt: Das Hadamard und CNOT-Gatter.

Das Hadamard Gatter

Das Hadamard Gatter hat die Aufgabe, den (absoluten) Zustand eines QuBits (|0〉 bzw. |1〉) in den Überlagerungszustand zu überführen [1]:

\Ket{0}

\Ket{+}

\Ket{-}

\Ket{1}

Exkurs: Mathematische Darstellung eines Hadamard Gatter

Mathematisch gesehen, handelt es sich bei dem Hadamard-Gatter (Hadmard-Operator) um eine 2×2 Matrix, die die Vektoren (Zustände) |0〉 bzw. |1〉 in den Vektor (Zustand) |+〉 bzw. |-〉 transformiert:

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\qquad(12)\\ H\Ket{0}=\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}+\Ket{1})\qquad(13)\\ H\Ket{1}=\Ket{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}-\Ket{1})\qquad(14)$

Das CNOT-Gatter

Das zweite Gatter, welches für die Verschränkung erforderlich ist, ist das CNOT-Gatter. Für dieses Gatter sind zwei QuBits erforderlich Q_A und Q_B. Das QuBit Q_A wird als Control-Bit bezeichnet, da von seinem Zustand der Status von Q_B abhängt [1]:

Das CNOT-Gatter invertiert den Wert von QuBit Q_B nur, wenn Q_A den Wert 1 hat. Ansonsten bleibt der Wert von Q_B unverändert.

Exkurs: Mathematische Darstellung des CNOT-Gatters

Das CNOT-Gatter (CNOT-Operator) kann mathematisch durch eine 4×4-Matrix ausgedrückt werden, die mit dem Statusvektor aus zwei QuBits multipliziert, den folgenden Zustand nach der CNOT-Operation ergibt:

CNOT=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\qquad(15)

\Ket{a}=\begin{bmatrix} a_{00}\\ a_{01}\\ a_{10}\\ a_{11} \end{bmatrix}

CNOT\Ket{a}=\begin{bmatrix} a_{00}\\ a_{11}\\ a_{10}\\ a_{01} \end{bmatrix}\qquad(16)

Das CNOT-Gatter vertauscht somit die Amplituden von a₀₁ und a₁₁.

Es soll nun ein Bell-Paar bzw. Verschränkung mit diesen beiden Gattern (Operatoren) erzeugt werden. Diese Schaltung verschränkt die beiden Qubits Q_A und Q_B mit den Anfangswerten 0 [1]:

\Ket{Q_A,Q_B}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0,0}+\Ket{1,1})

Je nach Messergebnis des Control QuBits Q_A wird das QuBit Q_B verändert oder nicht. Nach einer Messung ist der Zustand beider Qubits mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% |0,0〉 oder |1,1〉.

Quellen

[1]: M. Ellerhoff, Mit Quanten Rechnen. Wiesbaden: Springer Spektrum , ISBN 978-3-658-31221-3

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