Quantenteleportation

Die Quantenteleportation ist in den folgenden beiden Skizzen schematisch und als Schaltplan bestehend aus CNOT, Hadamard und XZ Gattern dargestellt [1,2]:

Ziel der Quantenteleportation ist es, den Zustand des QuBits C auf ein anderes QuBit B zu übertragen. Aufgrund des No-Cloning Theorem ist es nicht möglich, den Zustand eines QuBits C auf ein anderes zu übertragen, ohne dabei den Zustand von QuBit C zu ändern. Der Zustand des QuBits C ist anfangs Q_C:

<br /> \Ket{Q_C}=\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}\qquad(17)<br />

Zur Durchführung sind drei QuBits nötig: Ein QuBit hat den zu übertragenden Zustand, die beiden anderen miteinander verschränkten QuBits (A und B) dienen zur Übertragung des Zustands von QuBit C auf QuBit B.

Ablauf einer Quantenteleportation

Es werden zwei QuBits A und B miteinander verschränkt. Das QuBit B behält Bob und sendet das zweite QuBit zu Alice.
Alice verknüpft ihr QuBit C mit dem empfangenen QuBit A über ein CNOT-Gatter und führt eine Hadamard Transformation durch
Alice misst den Zustand des QuBits C und A
Alice teilt das Ergebnis der Messungen- codiert durch zwei Bits- über einen klassischen Kommunikationskanal mit
Je nach Messergebnis führt Bob an seinem QuBit B Transformationen durch (XZ oder Pauli Transformation genannt), sodass sein QuBit B den gleichen Zustand hat wie QuBit C.

Zunächst werden Qubit A und B miteinander verschränkt. Anschließend wird QuBit A (Alice) über ein CNOT-Gatter mit QuBit C verbunden. QuBit C wird anschließend mit einem Hadamard-Gatter in den Überlagerungszustand gebracht (s. Schaltplan).

Exkurs: Verschränkung und Überlagerung der Qubits A, B und C

Die Verschränkung von QuBit A und B ergibt:

$ \Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}+\Ket{11})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}_{A}\Ket{0}_{B}+\Ket{1}_{A}\Ket{1}_{B})\qquad(18) $

Damit ergeben sich mit dem QuBit Q_C, dessen Einteilchenzustand übertragen werden soll, folgende Gesamtzustände (ausgedrückt durch Tensorprodukt):

$ \Ket{Q_C}\otimes\Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})\qquad(19) $

Exkurs: Matrixdarstellung zweier nicht verschränkter Qubits

Es stellt sich die Frage, wie QuBit B, das nicht über CNOT mit QuBit C verbunden ist, mathematisch dargestellt wird. Dies soll anhand von zwei QuBits erläutert werden, wobei an einem QuBit keine Operation durchgeführt und am zweiten QuBit eine Hadamard Transformation ausgeführt wird [3]:

Um den Zustand dieses Systems beschreiben zu können, wird für das QuBit q₀ die Identitätsmatrix I notiert. Diese Matrix lässt den Zustand eines QuBits unverändert:
$ I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\qquad(20) $
Der Gesamtzustand G dieses Systems lässt sich mit der Matrixdarstellung von H (siehe Gleichung (12)) damit wie folgt beschreiben:
$ G=H\otimes I=\begin{bmatrix} H & I\\ I & H \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &1 \\ 1& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\qquad(21) $

Exkurs: Mathematische Beschreibung der Quantenverschränkung

Aus der Matrixdarstellung zweier nicht verschränkter Qubits (siehe obige Darstellung für q₀ und q₁) ergibt sich, dass bei der CNOT-Verknüpfung für das unbeteiligte QuBit B mit der Identitätsmatrix I (siehe Gleichung(20)) multipliziert werden muss. Bei der anschließenden Hadamard Transformation sind zwei Identitätsmatrizen erforderlich, da QuBit A und B nicht an der Transformation beteiligt sind:
$ (H\otimes I \otimes I)(CNOT \otimes I)(\Ket{Q_C}\otimes \Ket{e})=\\ (H\otimes I \otimes I)(CNOT \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})=\\ (H\otimes I \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{110}+\beta\Ket{101})=\\ \frac{1}{2}(\alpha(\Ket{000}+\Ket{011}+\Ket{100}+\Ket{111})+\beta(\Ket{010}+\Ket{010}-\Ket{110}-\Ket{101}))=\\ \frac{1}{2}(\color{green}{\Ket{00}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}}\color{black}{)+} \color{green}{\Ket{01}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}+\beta\Ket{0}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{10}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}-\beta\Ket{1}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{11}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}-\beta\Ket{0}}\color{black}{))}(22) $

Alice führt eine Messung an ihren beiden QuBits (A und C) durch. Als Messergebnis erhält sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit (25%) einen der vier grün markierten Zustände in der obigen Gleichung. Alice sendet dieses Messergebnis codiert in zwei klassischen Bits an Bob. Je nach Messergebnis nimmt Bob’s QuBit B den blau markierten Zustand an.

Alice führt eine Messung an ihren beiden QuBits (A und C) durch. Als Messergebnis erhält sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit (25%) eines der vier Messergebnisse in der folgenden Tabelle:

Messergebnis (Alice)	Zustand QuBit B (Bob)
\|00〉	α\|0〉+β\|1〉
\|01〉	α\|1〉+β\|0〉
\|10〉	α\|0〉-β\|1〉
\|11〉	α\|1〉-β\|0〉

Anmerkung: die Zustände, in denen sich Bobs QuBit befindet, ergeben sich aus den mathematischen Beschreibungen der Hadamard und CNOT-Gatter und deren Verbindungen mit den drei QuBits (s. Schaltplan und Exkurse zu Quantenteleportation).

X- und Z-Gatter

Aus der obigen Tabelle geht hervor, dass bei dem Messzustand |00〉 Bobs QuBit Q_B bereits in dem Zustand des zu übertragenden QuBits Q_C (Vergleiche Gleichung (17)). Für die drei anderen Messzustände ist eine Anpassung von Q_B erforderlich, sodass Q_B den gleichen Zustand wie das QuBit Q_C hat. Hierfür sind sogenannte X- und Z-Gatter erforderlich.

Das X-Gatter invertiert den Zustand von |0〉 zu |1〉 und umgekehrt [1]:

Das Z-Gatter führt zu einer Änderung des Zustands |+〉 zu |-〉 bzw. |-〉 zu |+〉 [1]:

Durch Verwendung dieser Gatter kann Bob sein QuBit Q_B in den Zustand von Q_C bringen.
Folgende Tabelle zeigt abhängig von Messergebnis die zu verwendenden Gatter, welche Bob auf sein Qubit Q_B anwenden muss:

Messergebnis (Alice)	erforderliche Gatter
\|00〉	keine
\|01〉	X
\|10〉	Z
\|11〉	ZX

Die Transformation eines QuBits mit X- und Z-Gattern wird auch als Pauli-Transformation bezeichnet.

Exkurs: Mathematische Darstellung von X- und Z-Gattern

In diesem Beispiel ändert das X-Gatter den QuBit-Zustand |0〉 in |1〉:
$ \Ket{0}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}; X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\qquad(23) $
$ X\Ket{0}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} $

Beim Z-Gatter handelt es sich ebenfalls um eine 2×2 Matrix:
$ \Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}; Z=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\qquad(24) $
$ Z\Ket{+}=Z=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}=\Ket{-} $

Quellen

[1]: M. Ellerhoff, Mit Quanten Rechnen. Wiesbaden: Springer Spektrum , ISBN 978-3-658-31221-3
[2]: P. Kaufmann, S. Naegele-Jackson, II. Quantenrevolution – die Welt der Qubits: DFN-Mitteilungen Ausgabe 99 Juni 20/21 Seite 22
[3] https://qiskit.org/textbook/preface.html

Quantenteleportation