Quantenteleportation

Die Verschränkung von QuBit A und B ergibt:

\Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}+\Ket{11})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}_{A}\Ket{0}_{B}+\Ket{1}_{A}\Ket{1}_{B})\qquad(18)

Damit ergeben sich mit dem QuBit Q_C, dessen Einteilchenzustand übertragen werden soll, folgende Gesamtzustände (ausgedrückt durch Tensorprodukt):

\Ket{Q_C}\otimes\Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})\qquad(19)

Es stellt sich die Frage, wie QuBit B, das nicht über CNOT mit QuBit C verbunden ist, mathematisch dargestellt wird. Dies soll anhand von zwei QuBits erläutert werden, wobei an einem QuBit keine Operation durchgeführt und am zweiten QuBit eine Hadamard Transformation ausgeführt wird [3]:

Um den Zustand dieses Systems beschreiben zu können, wird für das QuBit q₀ die Identitätsmatrix I notiert. Diese Matrix lässt den Zustand eines QuBits unverändert:

I=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\qquad(20)

Der Gesamtzustand G dieses Systems lässt sich mit der Matrixdarstellung von H (siehe Gleichung (12)) damit wie folgt beschreiben:

G=H\otimes I=\begin{bmatrix}
H & I\\
I & H
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & 0\\
\frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &1 \\
1& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\qquad(21)

Aus der Matrixdarstellung zweier nicht verschränkter Qubits (siehe obige Darstellung für q₀ und q₁) ergibt sich, dass bei der CNOT-Verknüpfung für das unbeteiligte QuBit B mit der Identitätsmatrix I (siehe Gleichung(20)) multipliziert werden muss. Bei der anschließenden Hadamard Transformation sind zwei Identitätsmatrizen erforderlich, da QuBit A und B nicht an der Transformation beteiligt sind:

(H\otimes I \otimes I)(CNOT \otimes I)(\Ket{Q_C}\otimes \Ket{e})=\\
(H\otimes I \otimes I)(CNOT \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})=\\
(H\otimes I \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{110}+\beta\Ket{101})=\\
\frac{1}{2}(\alpha(\Ket{000}+\Ket{011}+\Ket{100}+\Ket{111})+\beta(\Ket{010}+\Ket{010}-\Ket{110}-\Ket{101}))=\\
\frac{1}{2}(\color{green}{\Ket{00}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}}\color{black}{)+} \color{green}{\Ket{01}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}+\beta\Ket{0}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{10}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}-\beta\Ket{1}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{11}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}-\beta\Ket{0}}\color{black}{))}(22)

Alice führt eine Messung an ihren beiden QuBits (A und C) durch. Als Messergebnis erhält sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit (25%) einen der vier grün markierten Zustände in der obigen Gleichung. Alice sendet dieses Messergebnis codiert in zwei klassischen Bits an Bob. Je nach Messergebnis nimmt Bob’s QuBit B den blau markierten Zustand an.

In diesem Beispiel ändert das X-Gatter den QuBit-Zustand |0〉 in |1〉:

\Ket{0}=\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix};
X=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\qquad(23)


X\Ket{0}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}

Beim Z-Gatter handelt es sich ebenfalls um eine 2×2 Matrix:

\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix};
Z=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\qquad(24)


Z\Ket{+}=Z=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
-1\end{bmatrix}=\Ket{-}