Quantenteleportation
Quantenteleportation
Die Quantenteleportation ist in den folgenden beiden Skizzen schematisch und als Schaltplan bestehend aus CNOT, Hadamard und XZ Gattern dargestellt [1,2]:
Ziel der Quantenteleportation ist es, den Zustand des QuBits C auf ein anderes QuBit B zu übertragen. Aufgrund des No-Cloning Theorem ist es nicht möglich, den Zustand eines QuBits C auf ein anderes zu übertragen, ohne dabei den Zustand von QuBit C zu ändern. Der Zustand des QuBits C ist anfangs QC:
\Ket{Q_C}=\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}\qquad(17)
Zur Durchführung sind drei QuBits nötig: Ein QuBit hat den zu übertragenden Zustand, die beiden anderen miteinander verschränkten QuBits (A und B) dienen zur Übertragung des Zustands von QuBit C auf QuBit B.
Ablauf einer Quantenteleportation
- Es werden zwei QuBits A und B miteinander verschränkt. Das QuBit B behält Bob und sendet das zweite QuBit zu Alice.
- Alice verknüpft ihr QuBit C mit dem empfangenen QuBit A über ein CNOT-Gatter und führt eine Hadamard Transformation durch
- Alice misst den Zustand des QuBits C und A
- Alice teilt das Ergebnis der Messungen- codiert durch zwei Bits- über einen klassischen Kommunikationskanal mit
- Je nach Messergebnis führt Bob an seinem QuBit B Transformationen durch (XZ oder Pauli Transformation genannt), sodass sein QuBit B den gleichen Zustand hat wie QuBit C.
Zunächst werden Qubit A und B miteinander verschränkt. Anschließend wird QuBit A (Alice) über ein CNOT-Gatter mit QuBit C verbunden. QuBit C wird anschließend mit einem Hadamard-Gatter in den Überlagerungszustand gebracht (s. Schaltplan).
Exkurs: Verschränkung und Überlagerung der Qubits A, B und C
Die Verschränkung von QuBit A und B ergibt:
\Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}+\Ket{11})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}_{A}\Ket{0}_{B}+\Ket{1}_{A}\Ket{1}_{B})\qquad(18)
Damit ergeben sich mit dem QuBit QC, dessen Einteilchenzustand übertragen werden soll, folgende Gesamtzustände (ausgedrückt durch Tensorprodukt):
\Ket{Q_C}\otimes\Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})\qquad(19)
Exkurs: Matrixdarstellung zweier nicht verschränkter Qubits
Es stellt sich die Frage, wie QuBit B, das nicht über CNOT mit QuBit C verbunden ist, mathematisch dargestellt wird. Dies soll anhand von zwei QuBits erläutert werden, wobei an einem QuBit keine Operation durchgeführt und am zweiten QuBit eine Hadamard Transformation ausgeführt wird [3]:
Um den Zustand dieses Systems beschreiben zu können, wird für das QuBit q0 die Identitätsmatrix I notiert. Diese Matrix lässt den Zustand eines QuBits unverändert:
I=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\qquad(20)
Der Gesamtzustand G dieses Systems lässt sich mit der Matrixdarstellung von H (siehe Gleichung (12)) damit wie folgt beschreiben:
G=H\otimes I=\begin{bmatrix}
H & I\\
I & H
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & 0\\
\frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &1 \\
1& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\qquad(21)
Exkurs: Mathematische Beschreibung der Quantenverschränkung
Aus der Matrixdarstellung zweier nicht verschränkter Qubits (siehe obige Darstellung für q0 und q1) ergibt sich, dass bei der CNOT-Verknüpfung für das unbeteiligte QuBit B mit der Identitätsmatrix I (siehe Gleichung(20)) multipliziert werden muss. Bei der anschließenden Hadamard Transformation sind zwei Identitätsmatrizen erforderlich, da QuBit A und B nicht an der Transformation beteiligt sind:
(H\otimes I \otimes I)(CNOT \otimes I)(\Ket{Q_C}\otimes \Ket{e})=\\
(H\otimes I \otimes I)(CNOT \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})=\\
(H\otimes I \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{110}+\beta\Ket{101})=\\
\frac{1}{2}(\alpha(\Ket{000}+\Ket{011}+\Ket{100}+\Ket{111})+\beta(\Ket{010}+\Ket{010}-\Ket{110}-\Ket{101}))=\\
\frac{1}{2}(\color{green}{\Ket{00}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}}\color{black}{)+} \color{green}{\Ket{01}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}+\beta\Ket{0}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{10}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}-\beta\Ket{1}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{11}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}-\beta\Ket{0}}\color{black}{))}(22)
Alice führt eine Messung an ihren beiden QuBits (A und C) durch. Als Messergebnis erhält sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit (25%) einen der vier grün markierten Zustände in der obigen Gleichung. Alice sendet dieses Messergebnis codiert in zwei klassischen Bits an Bob. Je nach Messergebnis nimmt Bob’s QuBit B den blau markierten Zustand an.
Alice führt eine Messung an ihren beiden QuBits (A und C) durch. Als Messergebnis erhält sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit (25%) eines der vier Messergebnisse in der folgenden Tabelle:
Messergebnis (Alice) | Zustand QuBit B (Bob) |
|00〉 | α|0〉+β|1〉 |
|01〉 | α|1〉+β|0〉 |
|10〉 | α|0〉-β|1〉 |
|11〉 | α|1〉-β|0〉 |
Anmerkung: die Zustände, in denen sich Bobs QuBit befindet, ergeben sich aus den mathematischen Beschreibungen der Hadamard und CNOT-Gatter und deren Verbindungen mit den drei QuBits (s. Schaltplan und Exkurse zu Quantenteleportation).
X- und Z-Gatter
Aus der obigen Tabelle geht hervor, dass bei dem Messzustand |00〉 Bobs QuBit QB bereits in dem Zustand des zu übertragenden QuBits QC (Vergleiche Gleichung (17)). Für die drei anderen Messzustände ist eine Anpassung von QB erforderlich, sodass QB den gleichen Zustand wie das QuBit QC hat. Hierfür sind sogenannte X- und Z-Gatter erforderlich.
Das X-Gatter invertiert den Zustand von |0〉 zu |1〉 und umgekehrt [1]:
Das Z-Gatter führt zu einer Änderung des Zustands |+〉 zu |-〉 bzw. |-〉 zu |+〉 [1]:
Durch Verwendung dieser Gatter kann Bob sein QuBit QB in den Zustand von QC bringen.
Folgende Tabelle zeigt abhängig von Messergebnis die zu verwendenden Gatter, welche Bob auf sein Qubit QB anwenden muss:
Messergebnis (Alice) | erforderliche Gatter |
|00〉 | keine |
|01〉 | X |
|10〉 | Z |
|11〉 | ZX |
Die Transformation eines QuBits mit X- und Z-Gattern wird auch als Pauli-Transformation bezeichnet.
Exkurs: Mathematische Darstellung von X- und Z-Gattern
In diesem Beispiel ändert das X-Gatter den QuBit-Zustand |0〉 in |1〉:
\Ket{0}=\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix};
X=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\qquad(23)
X\Ket{0}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}
Beim Z-Gatter handelt es sich ebenfalls um eine 2×2 Matrix:
\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix};
Z=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\qquad(24)
Z\Ket{+}=Z=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
-1\end{bmatrix}=\Ket{-}
Quellen
[1]: M. Ellerhoff, Mit Quanten Rechnen. Wiesbaden: Springer Spektrum , ISBN 978-3-658-31221-3
[2]: P. Kaufmann, S. Naegele-Jackson, II. Quantenrevolution – die Welt der Qubits: DFN-Mitteilungen Ausgabe 99 Juni 20/21 Seite 22
[3] https://qiskit.org/textbook/preface.html