Quantenverschränkung

Quantenverschränkung

Verschränkte QuBits sind spezielle Zweiteilchenzustände. Für zwei verschränkte QuBits QA, QB beschreiben die Bell-Zustände den Zustand maximaler Verschränkung:

∣QA,QB⟩=12(∣00⟩±∣11⟩);∣QA,QB⟩=12(∣01⟩±∣10⟩) \Ket{Q_{A},Q_{B}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}\pm\Ket{11}); \Ket{Q_{A},Q_{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{01}\pm\Ket{10})

Exkurs: Zweiteilchenzustände

Für die Erklärung der Verschränkung zweier QuBits wird im folgenden die allgemeine Darstellung eines Zweiteilchenzustands benötigt.
Der Zweiteilchenzustand zweier unverschränkter QuBits lässt sich über das Tensorprodukt (dyadisches Produkt) ausgehend von den Einteilchenzuständen beschreiben:
∣a⟩=[a0a1],∣b⟩=[b0b1],∣ab⟩=∣a⟩⊗∣b⟩=[a0×[b0b1]a1×[b0b1]]=[[a0b0a0b1a1b0a1b1]] \Ket{a} = \begin{bmatrix} a_{0} \\ a_{1} \end{bmatrix}, \Ket{b} = \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix}, \Ket{ab} = \Ket{a} \otimes \Ket{b} = \begin{bmatrix} a_{0} \times \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix} & a_{1} \times \begin{bmatrix} b_{0} \\ b_{1} \end{bmatrix} & \end{bmatrix} = \Biggl[\begin{bmatrix} a_{0}b_{0} \\ a_{0}b_{1} \\ a_{1}b_{0} \\ a_{1}b_{1} \end{bmatrix}\Biggr]
Ein allgemeiner Zweiteilchenzustand zweier QuBits lässt sich über folgenden Zustandsvektor darstellen:
∣a⟩=a00∣00⟩+a01∣01⟩+a10∣10⟩+a11∣11⟩=[[a00a01a10a11]] \Ket{a}=a_{00}\Ket{00}+a_{01}\Ket{01}+a_{10}\Ket{10}+a_{11}\Ket{11}=\Biggl[ \begin{bmatrix} a_{00} \\ a_{01} \\ a_{10} \\ a_{11} \end{bmatrix} \Biggr]
Für die Normierung gilt dann:
∣a00∣2+∣a01∣2+∣a10∣2+∣a11∣2=1 |a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2=1

In einem Quantencomputer lässt sich die Verschränkung zwischen zwei QuBits durch die Anwendung des Hadamard und CNOT Gatters erzeugen:

Das Hadamard Gatter

Das Hadamard Gatter überführt QuBits im Zustand |0〉 bzw. |1〉 in den Überlagerungszustand [1]:

∣0⟩ \Ket{0}
∣+⟩ \Ket{+}
∣−⟩ \Ket{-}

∣1⟩ \Ket{1}

 

Dies entspricht auf der Bloch-Kugel einer Projektion in die Äquatorebene. Das Hadamard Gatter transformiert den Zustand |0〉 zu |+〉 bzw. |1〉 zu |-〉. Würde das QuBit in dem Zustand |+〉 oder |-〉 gemessen werden, so geht es mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% in den Zustand |1〉 oder |0〉 über.

Exkurs: Mathematische Darstellung des Hadamard Gatters.

Mathematisch gesehen handelt es sich bei dem Hadamard Gatter (Hadmard-Operator) um eine 2×2 Matrix, die die Zustände |0〉 bzw. |1〉 in den Zustand |+〉 bzw. |-〉 transformiert:

H=12[111−1],H∣0⟩=∣+⟩=12(∣0⟩+∣1⟩),H∣1⟩=∣−⟩=12(∣0⟩−∣1⟩) H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, H\Ket{0}=\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}+\Ket{1}), H\Ket{1}=\Ket{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}-\Ket{1})

Das CNOT Gatter

Für dieses Gatter sind zwei QuBits erforderlich: QA und QB. Das QuBit QA wird als Control bezeichnet, da von seinem Zustand der finale Status von QB abhängt [1]:

 

Das CNOT Gatter invertiert den Zustand von QuBit QB nur wenn QA den Zustand |1> hat. Ansonsten bleibt der Zustand von QB unverändert.

Exkurs: Mathematische Darstellung des CNOT-Gatters.

Das CNOT Gatter (CNOT-Operator) kann mathematisch durch eine 4×4-Matrix ausgedrückt werden, die den Zustandsvektor der zwei QuBits wie folgend transformiert:
CNOT=[[1000010000010010]],∣a⟩=[[a00a01a10a11]],CNOT∣a⟩=[[a00a01a11a10]] CNOT=\Biggl[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\Biggr], \Ket{a}=\Biggl[\begin{bmatrix} a_{00} \\ a_{01} \\ a_{10} \\ a_{11} \end{bmatrix}\Biggr], CNOT\Ket{a}=\Biggl[\begin{bmatrix} a_{00} \\ a_{01} \\ a_{11} \\ a_{10} \end{bmatrix}\Biggr]
Das CNOT-Gatter vertauscht also a10 und a11!

Erzeugung eines Bell-Paares

Es soll nun ein Bell-Paar mit diesen beiden Gattern erzeugt werden [1]:

∣QA,QB⟩=12(∣00⟩+∣11⟩) \Ket{Q_A,Q_B}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}+\Ket{11})

 

Am Anfang liegen QA und QB jeweils im Zustand |0> vor. Das Hadamard Gatter ändert den Zustand von QA zu |+>. Dadurch verändert das CNOT Gatter mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% den Zustand von QB zu |1> (falls die Messung an QA am CNOT Gatter 1 liefert). Somit liegt am Ende eine Überlagerung von |00> und |11> vor, ein Bell-Zustand mit Verschränkung!

Wird nun beispielsweise an QA eine Messung durchgeführt, die das Ergebnis 0 liefert, so kollabiert der Bell-Zustand zu |00> und sowohl QA als auch QB liegen danach im Zustand |0> vor. Diese Korrelation zwischen den möglichen Messergebnissen an QA und QB ist characteristisch für Verschränkung.

Quellen

[1] M. Ellerhoff. Mit Quanten Rechnen. ISBN 978-3-658-31221-3

 

Stand: 17.06.2024