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Grundlagen

QuBit, Quantenteleportation und Verschränkung. Diese Begriffe sind für das Verständnis für Quantentechnologien wie den Quantencomputer oder Quantennetze unerlässlich. Anhand von Grafiken und kleinen Beispielen wird auf diese drei Begriffe in diesem Artikel näher eingegangen. Im Text befinden sich als Ergänzung Exkurs Abschnitte, die ausführlichere Informationen zum Inhalt wie mathematische Definitionen und Herleitungen enthalten.

Exkurs: Warum Quantencomputing? Der Grover Algorithmus

Dieses Beispiel veranschaulicht anhand des Grover Algorithmus, warum Quantencomputer klassischen Computern bei der Rechenzeit überlegen sind.

Um ein Element aus einer unsortierten Datenbank mit N Elementen zu finden, wird eine Rechenzeit benötigt die proportional zu O(N) (Groß O Notation) ist. Bereits im Jahre 1996 konnte Grover zeigen, dass mit einem Algorithmus auf der Basis von Quantentechnologie sich die Anzahl der Rechenschritte auf eine Ordnung von O(N0,5) reduzieren lässt.

Durch die verringerte Zahl an Rechenschritten reduziert der Grover Algorithmus die Zeit für das Auffinden eines Elements in einer Datenbank. Dieser Algorithmus ist einer von mehreren, die die Eigenschaften der Quantenphänomene nutzen, um eine Erhöhung der Rechengeschwindigkeit zu erzielen [3].

weiterführende Informationen zum Grover Algorithmus: https://qiskit.org/textbook/ch-algorithms/grover.html

Das QuBit

Computer verwenden Schaltzustände von Transistoren, die den klassischen Zustand 0 oder 1 annehmen können um Informationen zu speichern oder Rechenoperationen durchzuführen. In einem Quantencomputer wird die kleinste Informationseinheit als QuBit bezeichnet. Im Gegensatz zum Bit, welches entweder den einen oder anderen Zustand annimmt (0 oder 1), besteht ein QuBit Q aus einer beliebigen Überlagerung dieser beiden Zustände:


\Ket{Q}=\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}\qquad(1)

Bei α und β handelt es sich (im Allgemeinen um komplexe) Zahlen, die den Anteil für 0 bzw.1 angeben. Der Zustand 0 bzw. 1 und der Zustand Q sind als Vektoren auf der Oberfläche einer Bloch-Kugel dargestellt [1]:



\Ket{0}


\Ket{1}


\Ket{Q}=\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}

Die Schreibweise ⟨|〉 wird als Bra-Ket Schreibweise bezeichnet. Diese Notation ist eine vereinfachte Darstellung für Spaltenvektoren |〉 (Bra) bzw. ⟨| für Reihenvektoren (Ket).

Exkurs: Vektordarstellung und Braket Schreibweise


\Ket{0}=\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
;
\Ket{1}=\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}\qquad(2)


\Bra{0}=\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
;
\Bra{1}=\begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}\qquad(3)

Die erste Zeile in den Spalten- bzw. erste Spalte in den Reihenvektoren bezieht sich auf den Wert |0〉 und die zweite Zeile bzw. Spalte auf den Wert |1〉 (siehe auch Darstellung auf der Bloch-Kugel).

Die Werte für α und β sind dabei so normiert, dass ihr Quadrat den Wert 1 ergibt:


|\alpha|^{2} + |\beta|^{2}=1\qquad(4)

In diesem Fall geben |α|2 und |β|2 die Wahrscheinlichkeiten an, in welchem Zustand sich das QuBit gerade befindet. Ein zulässiger Zustand für ein QuBit ist der nächsten Abbildung dargestellt, bei der die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 anzutreffen bei 50% zu 50% liegt [1]:


\Ket{Q}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Ket{0} + \frac{1}{\sqrt{2}}\Ket{1}\qquad (5)



\Ket{+}

=


=


\frac{1}{\sqrt{2}}


\frac{1}{\sqrt{2}}\Ket{0}

+


+


\frac{1}{\sqrt{2}}


\frac{1}{\sqrt{2}}\Ket{1}

Dieser Zustand wird mit |+〉 abgekürzt.

Frage: Wann „entscheidet“ sich das QuBit für einen der beiden Zustände?

Messung eines QuBit-Zustands

Sobald der Zustand eines QuBits durch eine Messung bestimmt wird, geht es in einen der beiden klassischen Zustände 0 oder 1 mit der Wahrscheinlichkeit |α|2 bzw. |β|2 über.

Quantenverschränkung

Exkurs: Darstellung von zwei QuBits über Tensorprodukt

Für die Erklärung der Verschränkung zweier Quanten bzw. QuBits ist es notwendig, die Darstellung des Zustands von zwei QuBits, sowie das Hadamard und CNOT-Gatter zu erläutern.
Zwei nicht verschränkte QuBits lassen sich über folgenden Zustandsvektor darstellen:

\Ket{a}=a_{00}\Ket{00}+a_{01}\Ket{01} +a_{10}\Ket{10} +a_{11}\Ket{11}=\begin{bmatrix}
a_{00}\\
a_{01}\\
a_{10}\\
a_{11}
\end{bmatrix}\qquad(6)

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt wiederum:

|a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2=1\qquad(7)

Allgemein lässt sich der Zustand bzw. Zustände zweier (oder mehrerer QuBits) über das Tensorprodukt (dyadisches Produkt) beschreiben:

\Ket{a}=\begin{bmatrix}
a_{0} \\
a_{1} \\
\end{bmatrix}
;
\Ket{b}=\begin{bmatrix}
b_{0} \\
b_{1} \\
\end{bmatrix}\qquad(8)


\Ket{ab}=\Ket{a} \otimes \Ket{b}=\begin{bmatrix}
a_{0} \times \begin{bmatrix}
b_{0}\\
b_{1}
\end{bmatrix} & \\
a_{1} \times \begin{bmatrix}
b_{0}\\
b_{1}
\end{bmatrix} &
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a_{0}b_{0}\\
a_{0}b_{1}\\
a_{1}b_{0}
\\
a_{1}b_{1}
\end{bmatrix}\qquad(9)

Zusammen können die QuBits vier unterschiedliche Zustände annehmen, wie zwei gewöhnliche Bits.
Verschränkte QuBits bestehen aus einer Überlagerung zweier bestimmter Zustände und zerfallen nach einer Messung in einen der beiden Zustände. Für zwei verschränkte QuBits QA, QB existieren die folgenden vier Zustände:


\Ket{Q_{A},Q_{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}\pm\Ket{11})\qquad(10)


\Ket{Q_{A},Q_{B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{01}\pm\Ket{10})\qquad(11)

Der Zustand (10) wird auch als Bell-Zustand bzw. Bell-Paar bezeichnet.

Frage: Wie werden 2 QuBits so miteinander verbunden, dass sie miteinander verschränkt sind?


Zur Verschränkung werden zwei sog. (Schaltungs-) Gatter benötigt: Das Hadamard und CNOT-Gatter.

Das Hadamard Gatter

Das Hadamard Gatter hat die Aufgabe, den (absoluten) Zustand eines QuBits (|0〉 bzw. |1〉) in den Überlagerungszustand zu überführen [1]:


\Ket{0}


\Ket{+}


\Ket{-}


\Ket{1}

Dies entspricht auf der Bloch-Kugel einer Projektion in die Äquatorebene. Das Hadamard Gatter transformiert den Zustand
|0〉 zu |+〉 (siehe Gleichung (13)) bzw. |1〉 zu |-〉 (siehe Gleichung (14)). Würde das QuBit wiederum in diesen Zustand gemessen werden (|+〉 oder |-〉), geht es mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% in den Zustand |1〉 oder |0〉 über.

Exkurs: Mathematische Darstellung eines Hadamard Gatter

Mathematisch gesehen, handelt es sich bei dem Hadamard-Gatter (Hadmard-Operator) um eine 2×2 Matrix, die die Vektoren (Zustände) |0〉 bzw. |1〉 in den Vektor (Zustand) |+〉 bzw. |-〉 transformiert:


H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 &1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}\qquad(12)\\
H\Ket{0}=\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}+\Ket{1})\qquad(13)\\
H\Ket{1}=\Ket{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}-\Ket{1})\qquad(14)

Das CNOT-Gatter

Das zweite Gatter, welches für die Verschränkung erforderlich ist, ist das CNOT-Gatter. Für dieses Gatter sind zwei QuBits erforderlich QA und QB. Das QuBit QA wird als Control-Bit bezeichnet, da von seinem Zustand der Status von QB abhängt [1]:

Das CNOT-Gatter invertiert den Wert von QuBit QB nur, wenn QA den Wert 1 hat. Ansonsten bleibt der Wert von QB unverändert.

Exkurs: Mathematische Darstellung des CNOT-Gatters

Das CNOT-Gatter (CNOT-Operator) kann mathematisch durch eine 4×4-Matrix ausgedrückt werden, die mit dem Statusvektor aus zwei QuBits multipliziert, den folgenden Zustand nach der CNOT-Operation ergibt:


CNOT=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 &0 \\
0 & 0 & 0 &1 \\
0& 0 & 1 &0 \\
1& 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\qquad(15)


\Ket{a}=\begin{bmatrix}
a_{00}\\
a_{01}\\
a_{10}\\
a_{11}
\end{bmatrix}


CNOT\Ket{a}=\begin{bmatrix}
a_{00}\\
a_{11}\\
a_{10}\\
a_{01}
\end{bmatrix}\qquad(16)

Das CNOT-Gatter vertauscht somit die Amplituden von a01 und a11.

Es soll nun ein Bell-Paar bzw. Verschränkung mit diesen beiden Gattern (Operatoren) erzeugt werden. Diese Schaltung verschränkt die beiden Qubits QA und QB mit den Anfangswerten 0 [1]:


\Ket{Q_A,Q_B}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0,0}+\Ket{1,1})

Je nach Messergebnis des Control QuBits QA wird das QuBit QB verändert oder nicht. Nach einer Messung ist der Zustand beider Qubits mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% |0,0〉 oder |1,1〉.

Quantenteleportation

Die Quantenteleportation ist in den folgenden beiden Skizzen schematisch und als Schaltplan bestehend aus CNOT, Hadamard und XZ Gattern dargestellt [1,2]:

Ziel der Quantenteleportation ist es, den Zustand des QuBits C auf ein anderes QuBit B zu übertragen. Aufgrund des No-Cloning Theorem ist es nicht möglich, den Zustand eines QuBits C auf ein anderes zu übertragen, ohne dabei den Zustand von QuBit C zu ändern. Der Zustand des QuBits C ist anfangs QC:


\Ket{Q_C}=\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}\qquad(17)

Zur Durchführung sind drei QuBits nötig: Ein QuBit hat den zu übertragenden Zustand, die beiden anderen miteinander verschränkten QuBits (A und B) dienen zur Übertragung des Zustands von QuBit C auf QuBit B.

Ablauf einer Quantenteleportation

  1. Es werden zwei QuBits A und B miteinander verschränkt. Das QuBit B behält Bob und sendet das zweite QuBit zu Alice.
  2. Alice verknüpft ihr QuBit C mit dem empfangenen QuBit A über ein CNOT-Gatter und führt eine Hadamard Transformation durch
  3. Alice misst den Zustand des QuBits C und A
  4. Alice teilt das Ergebnis der Messungen- codiert durch zwei Bits- über einen klassischen Kommunikationskanal mit
  5. Je nach Messergebnis führt Bob an seinem QuBit B Transformationen durch (XZ oder Pauli Transformation genannt), sodass sein QuBit B den gleichen Zustand hat wie QuBit C.

Zunächst werden Qubit A und B miteinander verschränkt. Anschließend wird QuBit A (Alice) über ein CNOT-Gatter mit QuBit C verbunden. QuBit C wird anschließend mit einem Hadamard-Gatter in den Überlagerungszustand gebracht (s. Schaltplan).

Exkurs: Verschränkung und Überlagerung der Qubits A, B und C

Die Verschränkung von QuBit A und B ergibt:


\Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{00}+\Ket{11})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\Ket{0}_{A}\Ket{0}_{B}+\Ket{1}_{A}\Ket{1}_{B})\qquad(18)

Damit ergeben sich mit dem QuBit QC, dessen Einteilchenzustand übertragen werden soll, folgende Gesamtzustände (ausgedrückt durch Tensorprodukt):


\Ket{Q_C}\otimes\Ket{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})\qquad(19)

Exkurs: Matrixdarstellung zweier nicht verschränkter Qubits

Es stellt sich die Frage, wie QuBit B, das nicht über CNOT mit QuBit C verbunden ist, mathematisch dargestellt wird. Dies soll anhand von zwei QuBits erläutert werden, wobei an einem QuBit keine Operation durchgeführt und am zweiten QuBit eine Hadamard Transformation ausgeführt wird [3]:


Um den Zustand dieses Systems beschreiben zu können, wird für das QuBit q0 die Identitätsmatrix I notiert. Diese Matrix lässt den Zustand eines QuBits unverändert:

I=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\qquad(20)

Der Gesamtzustand G dieses Systems lässt sich mit der Matrixdarstellung von H (siehe Gleichung (12)) damit wie folgt beschreiben:

G=H\otimes I=\begin{bmatrix}
H & I\\
I & H
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & 0\\
\frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &1 \\
1& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\qquad(21)

Exkurs: Mathematische Beschreibung der Quantenverschränkung

Aus der Matrixdarstellung zweier nicht verschränkter Qubits (siehe obige Darstellung für q0 und q1) ergibt sich, dass bei der CNOT-Verknüpfung für das unbeteiligte QuBit B mit der Identitätsmatrix I (siehe Gleichung(20)) multipliziert werden muss. Bei der anschließenden Hadamard Transformation sind zwei Identitätsmatrizen erforderlich, da QuBit A und B nicht an der Transformation beteiligt sind:

(H\otimes I \otimes I(CNOT \otimes I)(\Ket{Q_C}\otimes \Ket{e})=\\
(H\otimes I \otimes I)(CNOT \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{100}+\beta\Ket{111})=\\
(H\otimes I \otimes I)\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\Ket{000}+\alpha\Ket{011}+\beta\Ket{110}+\beta\Ket{101})=\\
\frac{1}{2}(\alpha(\Ket{000}+\Ket{011}+\Ket{100}+\Ket{111})+\beta(\Ket{010}+\Ket{010}-\Ket{110}-\Ket{101}))=\\
\frac{1}{2}(\color{green}{\Ket{00}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}+\beta\Ket{1}}\color{black}{)+} \color{green}{\Ket{01}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}+\beta\Ket{0}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{10}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{0}-\beta\Ket{1}}\color{black}{)+}\color{green}{\Ket{11}}\color{black}{(}\color{blue}{\alpha\Ket{1}-\beta\Ket{0}}\color{black}{))}\quad(22)

Alice führt eine Messung an ihren beiden QuBits (A und C) durch. Als Messergebnis erhält sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit (25%) einen der vier grün markierten Zustände in der obigen Gleichung. Alice sendet dieses Messergebnis codiert in zwei klassischen Bits an Bob. Je nach Messergebnis nimmt Bob’s QuBit B den blau markierten Zustand an.

Alice führt eine Messung an ihren beiden QuBits (A und C) durch. Als Messergebnis erhält sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit (25%) eines der vier Messergebnisse in der folgenden Tabelle:

Messergebnis (Alice) Zustand QuBit B (Bob)
|00〉 α|0〉+β|1〉
|01〉 α|1〉+β|0〉
|10〉 α|0〉-β|1〉
|11〉 α|1〉-β|0〉

Anmerkung: die Zustände, in denen sich Bobs QuBit befindet, ergeben sich aus den mathematischen Beschreibungen der Hadamard und CNOT-Gatter und deren Verbindungen mit den drei QuBits (s. Schaltplan und Exkurse zu Quantenteleportation).

X- und Z-Gatter

Aus der obigen Tabelle geht hervor, dass bei dem Messzustand |00〉 Bobs QuBit QB bereits in dem Zustand des zu übertragenden QuBits QC (Vergleiche Gleichung (17)). Für die drei anderen Messzustände ist eine Anpassung von QB erforderlich, sodass QB den gleichen Zustand wie das QuBit QC hat. Hierfür sind sogenannte X- und Z-Gatter erforderlich.

Das X-Gatter invertiert den Zustand von |0〉 zu |1〉 und umgekehrt [1]:

Das Z-Gatter führt zu einer Änderung des Zustands |+〉 zu |-〉 bzw. |-〉 zu |+〉 [1]:

Durch Verwendung dieser Gatter kann Bob sein QuBit QB in den Zustand von QC bringen.
Folgende Tabelle zeigt abhängig von Messergebnis die zu verwendenden Gatter, welche Bob auf sein Qubit QB anwenden muss:

Messergebnis (Alice) erforderliche Gatter
|00〉 keine
|01〉 X
|10〉 Z
|11〉 ZX

Die Transformation eines QuBits mit X- und Z-Gattern wird auch als Pauli-Transformation bezeichnet.

Exkurs: Mathematische Darstellung von X- und Z-Gattern

In diesem Beispiel ändert das X-Gatter den QuBit-Zustand |0〉 in |1〉:

\Ket{0}=\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix};
X=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\qquad(23)


X\Ket{0}=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}

Beim Z-Gatter handelt es sich ebenfalls um eine 2×2 Matrix:

\Ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix};
Z=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\qquad(24)


Z\Ket{+}=Z=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1\\
-1\end{bmatrix}=\Ket{-}

Quellen

[1]: M. Ellerhoff, Mit Quanten Rechnen. Wiesbaden: Springer Spektrum , ISBN 978-3-658-31221-3
[2]: P. Kaufmann, S. Naegele-Jackson, II. Quantenrevolution – die Welt der Qubits: DFN-Mitteilungen Ausgabe 99 Juni 20/21 Seite 22
[3] https://qiskit.org/textbook/preface.html

Stand: 07.06.21